$k$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i} + k\hat{j}$ સમરેખ થાય?

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. સ્થાન સદિશો $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,અને $\gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ ધરાવતા બિંદુઓ:

ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$M$ અને $N$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. જો $\vec{AD} + \vec{BC} = t \vec{MN}$ હોય,તો $t =$

વિધાન $(A):$ જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$,તો $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
કારણ $(R): (\vec{x} + \vec{y})^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.

ધારો કે $\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$,$a_1 \vec{i}+b_1 \vec{j}+c_1 \vec{k}$,$a_2 \vec{i}+b_2 \vec{j}+c_2 \vec{k}$,અને $a_3 \vec{i}+b_3 \vec{j}+c_3 \vec{k}$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો છે. ત્રિકોણીય ફલક $BCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ છે. જો $\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ એ ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હોય,તો $2 \alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો $P$ અને $Q$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $BC$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = $